「あなたと創るこれからの錯視の科学」数学キャラバン2014

「拡がりゆく数学」　第11回JST数学キャラバン in サイエンスアゴラ2014　
　2014年11月9日（日）・東京国際交流館３階メディアホール

あなたと創るこれからの錯視の科学

since November 1, 2014 渦巻き錯視一覧　じっきょう数学資料　色依存のフレーザー・ウィルコックス錯視図

錯視は人工物に見られることが多く、数学で取り扱うことが適した現象も多い。たとえば、渦巻き錯視（同心円が渦巻きに見える錯視）は、傾き錯視のパターンを同心円状に配置することでできるのであるが、これはベルヌーイの渦巻きをニューロンが検出するメカニズムを想定することで、その誤動作として容易に理解できるモデルが提案されている。そのほか、最新の色と明暗順応に依存する静止画が動いて見える錯視などを紹介する。

<本日の話題>
1.　渦巻き錯視の数理
2.　線遠近法の数理とリーマン空間？と形の恒常性
3.　視覚的補完（主観的輪郭）とベジェ曲線
4.　色の変換と逆演算の結果としての錯視
5.　フレーザー・ウィルコックス錯視群

1.　渦巻き錯視の数理

同心円（中心が同じ複数の円）が渦巻きに見える現象

「カフェウォール渦巻き　2011年リメーク版」

灰色の同心円が左に回転して中心に向かう渦巻きに見える。

カフェウォール錯視

灰色の水平線が左に傾いて見える。

カフェウォール錯視

灰色の水平線が左に傾いて見える。

First presented by Fraser (1908); Reproduced by Akiyoshi Kitaoka (2009)

フレーザーの渦巻き錯視（Fraser's spiral）

The term "spiral illusion" had long referred to the spiral illusion of the Fraser illusion (Fraser, 1908) before we elucidated that any tilt illusion can form spiral illusion (Kitaoka, Pinna and Brelstaff, 2001). This page shows a copy of Fraser's spiral produced by PC programming. <2003/8/30>

Fraser, J. (1908) A new visual illusion of direction. British Journal of Psychology, 2, 307-320.

北岡明佳（2006）渦巻き錯視のメカニズム　じっきょう数学資料, 52, 13-15. PDF

フレーザー錯視

水平線が上から交互に右・左・右・右に傾いて見える。

"Spiral warp"

Concentric rings appear to be spirals.

equiangle = 45 deg

The spiral illusion of the Zöllner illusion:

Kitaoka, A., Pinna, B., and Brelstaff, G. (2001). New variations of spiral illusions. Perception, 30, 637-646.

ツェルナー錯視

水平線が上から交互に右・左・右・左に傾いて見える。

"Cyanophyceae spiral"

Concentric circles appear to be a spiral.

ポップル錯視

水平線が上から交互に右・左・右・左に傾いて見える。

Popple, A. V. and Levi, D. M. (2000) A new illusion demonstrates long-range processing. Vision Research, 40, 2545-2549.
Popple, A. V. and Sagi, D. (2000) A Fraser illusion without local cues? Vision Research, 40, 873-878.

"Fractal spiral illusion" （新井仁之先生の錯視）

Concentric rings made up of fractal islands appear to form spirals.

Copyright Hitoshi & Shinobu Arai 2007
from Professor Hitoshi Arai, Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo, October 4, 2007

北岡明佳のコメント：　原理としてはフレーザー錯視のようですが、それよりもなによりも、世界初のフラクタル錯視図形なのではないでしょうか！？　新井先生の視覚数学e研究室報告に、この錯視の論文が出ました。 <2007年10月4日>

V4に渦巻きパターンに応答するニューロン

Gallant J L, Braun J, Van Essen D C, 1993 "Selectivity for polar hyperbolic and Cartesian gratings in macaque visual cortex" Science 259 100-103
Gallant J L, Connor C E, Rakshit S, Lewis J W, Van Essen D C, 1996 "Neural responses to polar, hyperbolic, and Cartesian gratings in area V4 of the macaque monkey"' Journal of Neurophysiology 76 2718-2739
Wilson H R, Wilkinson F, 1998 "Detection of global structure in Glass patterns: Implications for form vision" Vision Research 38 2933-2947
Wilson H R, Wilkinson F, Asaad W, 1997 "Concentric orientation summation in human form vision" Vision Research 37 2325- 2330

Suggested function

Bernoulli's spiral

r = a exp (k θ)

= equiangular spiral

k = 1 / tan (φ)

Spiral Glass pattern

φ = 70º

結論　渦巻き錯視はベルヌーイ螺旋の知覚メカニズムで説明できる。

Kitaoka, A., Pinna, B., and Brelstaff, G. (2001). New variations of spiral illusions. Perception, 30, 637-646. PDF

2.　線遠近法の数理とリーマン空間？

網膜座標系と錯視

ヘルムホルツの図（ベオグラード大学で撮影）

問：網膜地図（retinal map）は、中心を決め、中心を通る上下・左右の軸を決めると、中心からの距離（視角）で座標を表す。理想的な視野世界はどのように網膜地図に投射されるか？

Figure 1. An instance of retinal coordinates. Suppose that twenty by twenty squares (each being 10 cm x 10 cm) are drawn at the center of an infinitely-extended flat plane and observed from 50 cm apart. (a) When the plane is perpendicular to the visual axis, the mesh appears to bulge out though it really has no curves. (b) When the visual axis is parallel to the plane, the lines parallel to the visual axis appear to converge at the center of the visual field while the lines perpendicular to the visual axis (except those that cross the visual axis) appear to curve outward. (c) When the plane is observed obliquely, both (bulging and converging) appearances coexist. (d) Parallel lines on a plane perpendicular to the visual axis meet at two points on the surrounding circle. The gray circle at the center in each panel represents the foveal vision. The radius of the circle is 90 degree of visual angle.

Given equations

Figure Appendix. The method to obtain the retinal coordinates (ρ,θ) from the visual world. Suppose that the seen object is placed on the x-y plane where a target point T (x, y, 0) is located, and that an observing eye is located on the z-axis with the height of "d". "α" is the angle between the visual axis and the z-axis when the eye sees a point F (foveal point) that is located on the y-axis. The visual angle "ρ" of the target point is the angle between the line from the eye to the foveal point F (vector f) and the line from the eye to the target point T (vector t). The visual angle ρ is obtained from these two vectors. The angle θ is given as the angle between the line parallel to the x-axis through the foveal point F and the line from the foveal point F to another point T´ where the extension of vector t meets the plane that is perpendicular to the visual axis (or vector f) and passes through the foveal point F.

Figure 2. Extended retinal coordinates. The radius of the outer circle represents 180 degrees of “visual angle” while the radius of the inner one shows 90 degrees of visual angle. (a) The image of Figure 1d is placed in these coordinates. (b) and (c) The same image is seen obliquely. (d) The same image is seen in parallel to the plane. (e)-(h) The thick line shows the line at infinity of a plane within which the entire plane is represented.

結論　網膜座標地図は無限を表現することができる。

Kitaoka, A. (2007) Psychological approaches to art. Japanese Journal of Psychonomic Science,26, 97-102. PDF

杉原厚吉先生の「不可能運動」のデモ＠岐阜市科学館（動画）

Gifushi_kagakukan_Sugihara-demo.mp4

<2014年8月4日>

Impossible motion: magnet-like slopes

2010 First prize

Kokichi Sugihara

Meiji Institute for Advanced Study of Mathematical Sciences, Japan

逆遠近法（エームズの台形の発展版）

(30MB)

「金閣逆遠近法」

谷折りの金閣が山折りに見える。

「逆遠近法」（"reverspective"）はアーテイスト Patrick Hugh の作品で有名。日本では、関西大学の Norman Cook 先生が研究している。

もちろん金閣は谷折り。しかし、この方向から見ても何か変に見える。

展開図　高解像度ファイル

シンプル版
高解像度ファイル

短いところは山折りになっているが谷折りに見える。

●形の恒常性

北岡明佳（編著）　（2011）　いちばんはじめに読む心理学の本⑤　知覚心理学　―心の入り口を科学する―　ミネルヴァ書房　amazon （2011年4月刊、総ページ数は297ページ）　北岡執筆部分の図一覧

「台形の場合の形の恒常性」

「台形の場合の形の恒常性２」

「不等辺四辺形の場合の形の恒常性」

「長方形の場合の形の恒常性」

エイムズの部屋の内部

エイムズの部屋の外観

大きさの恒常性

エイムズの部屋

エイムズの部屋＝「形の恒常性が大きさの恒常性に打ち勝つ現象」説を唱えている唯一の本

エイムズの台形窓

「逆遠近法」（"reverspective"）はアーテイスト Patrick Hugh の作品で有名。日本では、関西大学の Norman Cook 先生が研究している。

「京都アスニー多義図形」

「京都アスニー」と書かれた白い部分は上下で一致しているが（青い枠の中においても一致）、上の図でそれは下方を向いているように見え、下の図では上方を向いているように見える。

「平行四辺形は奥行反転図形」

「平行四辺形の場合の形の恒常性」
（平行四辺形は奥行反転図形の説明図１）

「平行四辺形の場合の形の恒常性２」
（平行四辺形は奥行反転図形の説明図２）

3.　視覚的補完（主観的輪郭）とベジェ曲線

結論　視覚的補完の形状はベジェ曲線（4つのコントロールポイントを持つ3次曲線）で近似できる。

論文出していないので、誰も知らない。

Kitaoka, A., Sakurai, K., Gyoba, J., and Kawabata, H. (頓挫中) Visually interpolated contours can be described by cubic Bézier curves.

Interpolation of subjective contours in photopic phamtoms

Extrapolation of the upper row

Extrapolation of the lower row

4.　色の変換と逆演算の結果としての錯視

<錯視的錬金術>

問：　下記のような色から金色を作る方法はあるか？

答：　ある。

「青い金閣」

青フィルターがかかっていやな感じではあるが金閣は金色に見える。金色は黄色系統でなければならないという前提があるなら、この合成画像で金閣が金色に見えることは錯視であり、知覚される金色は物理的には青系統の色である。

黄色系統でなくても金色に見える。

「立命館大学ののぼりの色の恒常性」
"Ritsumeikan flags"

色の恒常性錯視デモ用のプリント用ファイル　DOC

この種の色の恒常性の文献

北岡明佳　（2011）　色の錯視いろいろ　（2）色の恒常性と2つの色フィルタ　日本色彩学会誌, 35(3), 234-236. PDF（スキャンコピー）, PDF（高解像度スキャンコピー）

北岡明佳　（2011）　色の錯視いろいろ　（1）「目の色の恒常性」という錯視の絵　日本色彩学会誌, 35(2), 118-119. PDF（スキャンコピー）

加法的色変換
Additive color changes

北岡明佳　（2011）　色の錯視いろいろ　（2）色の恒常性と2つの色フィルタ　日本色彩学会誌, 35(3), 234-236. <図2>

乗法的色変換
Multiplicative color change

北岡明佳　（2011）　色の錯視いろいろ　（2）色の恒常性と2つの色フィルタ　日本色彩学会誌, 35(3), 234-236. <図4>

加法的色変換の例・・・「清流」の緑は山の緑
Example of additive color changes

問：　下記のような色から、オレンジ色と赤紫色を同時に作る方法はあるか？

答：　ある。

Produced Akiyoshi Kitaoka 2012 (September 16)

いろいろな組み合わせでできる。

Produced Akiyoshi Kitaoka 2012 (September 16)

「ムンカー錯視と色の恒常性の色材研究」

左の「色材」は赤が赤紫とオレンジに見え、「研究」は水色と黄緑色に見える。右の「色材」は灰色が赤紫とオレンジに見え、「研究」は青緑色が水色と黄緑色に見える。

< 静脈錯視 >

「静脈錯視」

青く浮き出て見える静脈は物理的には青くなく、せいぜい灰色であり、色の錯視（色の対比）だった！

写真は北岡の右足です。

静脈錯視発見の時のfacebookページ→　

類似の錯視

一番右の正方形は灰色であるが水色に見える。

この錯視を私が見つけたサイト

「静脈錯視：手」

この手の青く浮き出て見える静脈は物理的には青くなく、彩度の低いオレンジ色であった。

写真は北岡の右手です。對梨成一氏撮影。

下2図は、物理的には青いピクセルはないことをスポイトツールなどで確めるための画像

「静脈錯視：腕」

この手の青く浮き出て見える静脈は物理的には青くなく、彩度の低いオレンジ色であった。

Thanks to MK for your tremendous contribution!

「静脈錯視：腕２」

青白く撮れた写真の場合でも、この手の青く浮き出て見える静脈は物理的には青くなく、彩度の低い黄色かオレンジ色であった。

「静脈錯視：手の甲」

この手の青く浮き出て見える静脈は物理的には青くなく、ほぼ灰色あるいは彩度の低い黄色であった。

「静脈錯視：基本図形？」

ほとんど灰色の彩度の低い黄色の領域が青みがかって見える。

静脈錯視についての皆様からのご意見→　

「錯視的青のリング」

本図はすべて少し赤みの入った黄色の色相の画素でできているが、青みを帯びたリングが知覚される。

produced Akiyoshi Kitaoka 2014 (May 31)

「錯視的青のリング２」

本図はすべて少し赤みの入った黄色の色相の画素でできているが、青みを帯びたリングが知覚される。

produced Akiyoshi Kitaoka 2014 (May 31)

< 誘導色の彩度が低くても効果がある。>

「錯視的水色のリング」

本図はすべて赤の色相の画素でできているが、水色を帯びたリングが知覚される。

produced Akiyoshi Kitaoka 2014 (May 31)

「錯視的赤みのリング２」

本図はすべて水色（シアン）色の色相の画素でできているが、赤みを帯びたリングが知覚される。

produced Akiyoshi Kitaoka 2014 (May 31)

立命館大学リサーチオフィス衣笠の柚木一さんの静脈

北岡明佳　（2014）　色の錯視いろいろ　（14）静脈の色の錯視・その２　日本色彩学会誌, 38(5), 367-368. PDF（スキャンコピー）

5.　色依存の静止画が動いて見える錯視

「蛇の回転」

蛇の円盤が勝手に回転して見える。

（配布物）

「ピクピク錯視」

内側のリングがピクピクと小刻みに回転して見える。眼球運動にトリガーされる様子で、トリガーがかかった時に反時計回りにピクっと動いて見える。

「オレンジ色のハートの回転２」

ハートのリングが回転して見える。

「最適化型」フレーザー・ウィルコックス錯視・タイプ I
Optimized Fraser-Wilcox illusion, Type I

「赤い蛇の回転の詰め合わせ」

リングがゆっくり、あるいは急速に回転して見える。

「最適化型」フレーザー・ウィルコックス錯視・タイプ IIa
Optimized Fraser-Wilcox illusion, Type IIa

「最適化型」フレーザー・ウィルコックス錯視・タイプ III
Optimized Fraser-Wilcox illusion, Type III

「影付きの左右に動く蛇」

蛇が左右に動いて見える。

「最適化型」フレーザー・ウィルコックス錯視・タイプ IV
Optimized Fraser-Wilcox illusion, Type IV

「錠剤の回転」
（たくさん版）

錠剤のリングが回転して見える。

赤と紫特有の「最適化型」フレーザー・ウィルコックス錯視・タイプ V
Optimized Fraser-Wilcox illusion, Type V

「赤と紫の円盤の回転」

明るいディスプレーでは円盤は時計回りに回転して見える。印刷物を暗いところで見ると反時計回りに回転して見える。

最適化型フレーザー・ウィルコックス錯視・タイプVの作品いろいろ

最適化型フレーザー・ウイルコックス錯視群

Kitaoka, A. (2007) Phenomenal classification of the “optimized” Fraser-Wilcox illusion and the effect of color. Poster presentation in DemoNight, VSS2007, GWiz, Sarasota, Florida, USA, May 14, 2007.

Kitaoka, A. (2008) Optimized Fraser-Wilcox illusions: A pictorial classification by Akiyoshi Kitaoka. Talk in a workshop (WS005) in the 72nd Annual Convention of the Japanese Psychological Association, Hokkaido University, Sapporo, September 19, 2008. Presentation page

北岡明佳　（2008）　人はなぜ錯視にだまされるのか？　トリック・アイズ　メカニズム　カンゼン

最適化型フレーザー・ウィルコックス錯視群は、　黒→濃い灰色→白→薄い灰色→黒　の方向に動いて見える錯視群である。

Direction: black → dark-gray → white → light-gray → black

Fraser, A. and Wilcox, K. J. (1979) Perception of illusory movement. Nature, 281, 565-566.

perceptual dimorphism とその遺伝性を主張した。

Alex Fraser - Gallery of Paintings

2. Faubert and Herbert (1999)

Faubert, J. and Herbert, A. M. (1999) The peripheral drift illusion: A motion illusion in the visual periphery. Perception, 28, 617-621.

3. Naor-Raz and Sekuler (2000)

Naor-Raz, G. and Sekuler, R. (2000) Perceptual dimorphism in visual motion from stationary patterns. Perception, 29, 325-335.

4. Kitaoka and Ashida (2003)

Kitaoka, A. and Ashida, H. (2003) Phenomenal characteristics of the peripheral drift illusion. VISION (Journal of the Vision Society of Japan), 15, 261-262

"Dark to light" (in gradation) might be stronger.

"Light to dark" might be stronger.

"Dark to light"

"Light to dark"

"Dark to light" and "light to dark" in cooperation

I propose an empirical observation that color might enhance the illusion in some conditions.

Observation 1. The illusion from dark to light is enhanced by red or blue.

Observation 2. The illusion from light to dark is enhanced by yellow or green.

Observation 3. The illusion from dark to light is enhanced by red or blue, while the illusion from light to dark is enhanced by yellow or green. Both illusions work additively.

「赤と紫の円盤の回転」

明るいディスプレーでは円盤は時計回りに回転して見える。印刷物を暗いところで見ると反時計回りに回転して見える。

Kitaoka, A. (2014). Color-dependent motion illusions in stationary images and their phenomenal dimorphism. Perception, 43(9), 914-925.

Kitaoka, A. (forthcoming). The Fraser-Wilcox illusion and its extension. A. Shapiro and D. Todorović (Eds.), Oxford Compendium of Visual Illusions, Oxford University Press.

参考書

北岡明佳著　錯視入門　朝倉書店　（2010年7月）　　new!　