Spirals 2

since March 22, 2023


Helix


Bernoulli's spiral


Archemedes's spiral


Helix


Bernoulli's spiral


Archemedes's spiral



100 x 100 deg


10 x 10 deg



100 x 100 deg


10 x 10 deg

Tube (concentric helix)


concentric Benoulli's spiral


concentric Archemedes's spiral


Bernoulli's spiral: r = a exp (kθ)  (ベルヌーイの渦巻き、ベルヌーイの螺旋、対数螺旋(logarithmic spiral)、等角螺旋(equiangular spiral)などと呼ばれる。ただし、螺旋は helix と対応する概念を表した用語と考えるのであれば誤訳であり、対数螺旋は対数的渦巻き、等角螺旋は等角的渦巻きと呼ぶべきかもしれない)

渦巻きが1本の場合: r = a exp (kθ)
渦巻きがn本の場合: r = (r1, r2, ri, rn)
ri = a exp (k(θ+ 2π(i - 1) / n) )

ρ: reduction ratio (縮小率), n: number of spirals (渦巻きの本数), phi (φ): angle between the line connecting the center with a particular point on a spiral and its tangent (渦巻き上のある点と中心を結ぶ線とその点における接線の成す角)

この時、
k = 1 / tan (φ)
渦巻きが1本の場合: ρ = (a exp (kθ) ) / (a exp (k(θ+ 2π) ) = exp (-k)
渦巻きがn本の場合: ρ = ri / ri + 1 = ( a exp (k (θ+ 2π(i - 1) / n) ) ) / ( a exp (k (θ+ 2πi ) / n) ) ) = exp (-k / n)
よって、いずれの場合も: ρ = exp (-k / n)
という関係にある。すなわち、パラメータ k、φ、ρ については、1つが定まれば残りの2つも定まる。

ρ = 60%, n = 2, φ = 81 deg


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