Bernoulli's spirals

Spirals

since January 15, 2016

Bernoulli's spiral: r = a exp (kθ)　　（ベルヌーイの渦巻き、ベルヌーイの螺旋、対数螺旋（logarithmic spiral）、等角螺旋（equiangular spiral）などと呼ばれる。ただし、螺旋は helix と対応する概念を表した用語と考えるのであれば誤訳であり、対数螺旋は対数的渦巻き、等角螺旋は等角的渦巻きと呼ぶべきかもしれない）

渦巻きが1本の場合：　r = a exp (kθ)
渦巻きがn本の場合：　r = (r₁, r₂, … r_i, … r_n)
r_i = a exp (k(θ+ 2π(i - 1) / n) )

ρ: reduction ratio （縮小率）, n: number of spirals （渦巻きの本数）, phi (φ): angle between the line connecting the center with a particular point on a spiral and its tangent （渦巻き上のある点と中心を結ぶ線とその点における接線の成す角）

この時、
k = 1 / tan (φ)
渦巻きが1本の場合：　ρ = (a exp (kθ) ) / (a exp (k(θ+ 2π) ) = exp (-2πk)
渦巻きがn本の場合：　ρ = r_i / r_{i + 1} = ( a exp (k (θ+ 2π(i - 1) / n) ) ) / ( a exp (k (θ+ 2πi ) / n) ) ) = exp (-2πk / n)
よって、いずれの場合も： ρ = exp (-2πk / n)
という関係にある。すなわち、パラメータ k、φ、ρ については、１つが定まれば残りの２つも定まる。

ρ = 60%, n = 2, φ = 81 deg

ρ = 90%, n = 10, φ = 80 deg

ρ = 90%, n = 5, φ = 80 deg

ρ = 90%, n = 1, φ = 89 deg

ρ = 90%, n = 0, φ = 90 deg (= concentric circle)

ρ = 90%, n = 15, φ = 76 deg

ρ = 90%, n = 20, φ = 71 deg

ρ = 90%, n = 25, φ = 67 deg

ρ = 90%, n = 30, φ = 63 deg

ρ = 90%, n = 60, φ = 45 deg

ρ = 90%, n = 120, φ = 26 deg

ρ = 80%, n = 10, φ = 70 deg

ρ = 70%, n = 10, φ = 60 deg

ρ = 60%, n = 10, φ = 51 deg

ρ = 40%, n = 1, φ = 82 deg

ρ = 90%, n = 10, φi = 80 deg

ρ = 90%, n = 10, φ = 80 deg

ρ = 80%, n = 5, φ = 80 deg

Circle: r = a

円が1つの場合：　r = a
対数的同心円（logarithmic concentric circles）の場合：　r = ｛… r_i-1, r_i, r_i+1, …｜i ∈ Z｝
r_i = a exp (2πki)

ベルヌーイの渦巻きと同様に、ρ: reduction ratio （縮小率）とすると、

ρ = (a exp (2πki) ) / (exp (2πk(i+1)) ) = exp (-2πk)

これは、n = 1 の時のベルヌーイの渦巻きの縮小率に等しい。

phi (φ): angle between the line connecting the center with a particular point on a circle and its tangent （円上のある点と中心を結ぶ線とその点における接線の成す角）は常に90度。
φ = 90 deg

ρ = 60%, φ = 90 deg

ρ = 90%　の対数的同心円

これは、ρ = 90%, n = 0, φ = 90 deg　のベルヌーイの渦巻きと言うこともできる。

ρ = 50%　の対数的同心円

これは、ρ = 50%, n = 0, φ = 90 deg　のベルヌーイの渦巻きと言うこともできる。

放射パターンの数式はこうかな？

放射パターンが1本の場合：　r = b, θ= c　　ただし、b ≥ 0 で不定、cは一定　
放射パターンがn本の場合：　r =(r₁, r₂, … r_i, … r_n)
r_i = b, θ= c + 2π(i - 1) / n　　ただし、b ≥ 0 で不定、cは一定

n = 30 の放射パターン

これは、n = 30, φ = 0 deg　のベルヌーイの渦巻きと言うこともできる。このとき、ρ = 0%　と表現できるし、あるいは定義できないと表現するところと考えられる。