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対数線型モデル
階層的対数線型モデル
性別 態度 計 賛成 反対 男性 21 9 30 女性 11 22 33 計 32 31 63 2つの変数 (性別と態度) が独立であると仮定した場合,男性が賛成する期待度数は,男性の比率と賛成の比率から計算できます。
63 × 30/63 × 32/63 = 15.238
2変数の独立を仮定した場合,各セルの期待度数は,
μij = N Pi. P.j
になります。μij は,i 行 j 列の期待度数です。N は総度数です。Pi. は i 番目の行の確率,P.j は j 番目の列の確率です。独立が仮定されているので,2つの周辺確率の積からセルの期待度数が計算できます。
上記の式は,両辺の対数をとれば加法的関係になります。
ln μij = λ + λSi + λAj
λはサンプルの大きさに基づく項です。λSi は性別変数の効果を,λAj は態度変数の効果をそれぞれ表します。このモデルは,2変数間の独立性を仮定した対数線型モデル (loglinear model) です。
上記のモデルは,
各セルの期待頻度の対数 = 定数 + 態度 + 性別
であることを示しています。
ln μij = λ + λSi + λAj + λSAij
となります。このモデルは,飽和モデル (saturated model) と呼ばれます。飽和モデルによる期待度数は観察度数と一致します。
階層的対数線形モデルで変数間の交互作用が仮定される場合,その交互作用に含まれる変数の効果と,部分的交互作用すべてがモデルに含まれることになります。
例えば,以下のようなクロス集計表 (Howell, 2002, p. 673) を考えてみます。
Moral × Verdict がモデルに含まれると,Moral と Verdict もモデルに含まれます。
あるいは,Fault × Moral × Verdict が仮定される,Fault ,Moral,Verdict のそれぞれと,Fault × Moral,Fault × Verdict,そして Moral × Verdictがモデルに含まれます。
適合度検定
計算例
- Pearson 統計量
(21.0-15.238)2/15.238 + (9.0-14.762)2/14.762 + (11.0-16.762)2/16.762 + (22.0-16.238)2/16.238 = 8.453
- 尤度比統計量
2*21.0*ln(21.0/15.238) + 2*9.0*ln(9.0/14.762) + 2*11.0*ln(11.0/16.762) + 2*22.0*ln(22.0/16.238) = 8.659